朗道理论物理学教程-力学
运动方程
1. 广义坐标
质点是指那些在描述其运动过程中可以忽略大小的物体。
质点在空间的位置由其径矢 $\textbf{r}$ ，对时间的导数
$$ \textbf{v} = \frac{\mathrm{d} \textbf{r}}{\mathrm{d}t}$$
称为质点的速度，其二阶导数 $\mathrm{d}^{2} \textbf{r}/\mathrm{d} t^{2}$ 称为质点的加速度。对时间的导数经常用符号上的点表示，如 $\textbf{v}=\dot{\textbf{r}}$ 和 $\textbf{a}=\ddot{\textbf{r}}$ 。
通常，唯一确定系统位置所需要的独立的变量的数目称为系统的自由度。N个质点组成的系统自由度为3N。而这些独立变量的不一定是质点的笛卡尔坐标。
对于$s$个自由度的系统，可以完全刻画其位置的任意的$s$个变量 $q_{1},q_{2},\cdots,q_{s}$ 称为系统的广义坐标，其导数 $\dot{q}_{i}$ 则称为广义速度。
经验表明，同时给定系统所有的广义坐标和广义速度则可以确定系统的状态，并且原则上可以预测以后的运动。加速度与坐标、速度的关系式称为运动方程。
2. 最小作用量原理
力学系统运动规律的最一般的表述由最小作用量原理(或者哈密顿原理)给出。根据这个原理，每一个力学系统都可以用一个确定的函数
$$ L(q_{1},q_{2},\cdots,q_{s},\dot{q}_{1},\dot{q}_2,\cdots,\dot{q}_s,t) $$
或者简记为 $L(q,\dot{q},t)$ 所表征，并且系统的还要满足下面的条件。
假设在时刻 $t=t_{1}$ 和 $t=t_{2}$ 系统的位置由两组坐标 $q^{(1)}$ 和 $q^{(2)}$ 确定，那么系统在这两个位置之间的运动使得积分
$$ S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\dot{q},t) \mathrm{d} t $$
取最小值。函数 $L$ 称为给定系统的拉格朗日函数，积分 $S$ 称为作用量。
为了简单，我们假设系统仅有一个自由度，只需要确定一个函数 $q(t)$ 。设 $q=q(t)$ 是使 $S$ 取最小值的函数，就是说用任意函数
$$q(t)+\delta q(t)$$
代替 $q(t)$ 会使 $S$ 增大，其中$\delta q(t)$称为函数$q(t)$的
变分。在时刻 $t=t_{1}$ 和 $t=t_{2}$ 系统的位置分别取值 $q^{(1)}$ 和 $q^{(2)}$ ，即：$$\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0$$
用 $q(t)+\delta q(t)$ 代替 $q(t)$ 从而使积分 $S$ 产生的增量为
$$ \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q+\delta q,\dot{q} + \delta \dot{q},t) \mathrm{d} t -\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\dot{q},t) \mathrm{d} t $$
这个差中的被积函数是按 $\delta q$ 和 $\delta \dot{q}$ 的幂展开式是从一阶项开始的，$S$ 取最小值（一般是极值）的必要条件是这些项之和等于零，这个和称为积分的
一阶变分（或者简称为变分），于是最小作用量原理可以写成$$ \delta S=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\dot{q},t) \mathrm{d} t = 0$$
变分后的形式
$$\int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q})\mathrm{d} t = 0$$
注意到 $\delta \dot{q}=\frac{d}{dt} \delta q$ ，将第二项分部积分可得
$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} (\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} ) \delta q \mathrm{d}t +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \bigg |_{t_1}^{t_2} $$
根据 $\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0$ 第一项等于零，剩下的积分在 $\delta q$ 任意取值时都应该为零。这只有在被积函数恒等于零的情况下才成立，于是便得到方程
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q}=0 $$
对于有 $s$ 个自由度的系统，在最小作用原理中有 $s$ 个不同的函数 $q_{i}(t)$ 应该独立变分，显然我们可以得到 $s$ 个方程：
$$ \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i}=0 \quad (i=1,2,\cdots,s) \end{equation} $$
这就是我们要推到的运动微分方程，在力学中称为拉格朗日方程。
从数学观点来看，上述方程是包含 $s$ 个未知函数 $q_{i}(t)$ 的 $s$ 个二阶微分方程组。这个方程组的通解中包含 $2s$ 个任意常数。为了确定这些常数，从而完全确定力学系统的运动，必须知道描述系统在某个给定时刻的初始条件，如所有坐标和速度的初值。
设力学系统由 $A$ 和 $B$ 两部分组成，每个部分都是封闭的，拉格朗日函数分别是 $L_A$ 和 $L_B$ 。在两部分相距足够远以至于它们的相互作用可以忽略的极限条件下，系统的拉格朗日函数趋向于极限：
$$ lim \ L = L_A + L_B $$
拉格朗日函数的这种可加性反映了一个事实：任意独立部分的运动方程不可能包含与另一部分相关的物理量。
显然，将力学系统的拉格朗日函数乘以一个任意常数，不会改变运动微分方程。这似乎导致了一种重要的不确定性：各个孤立的力学系统的拉格朗日函数可以乘以不同任意常数。然而，可加性消除了这个不确定性，只允许所有力学系统的拉格朗日函数乘以同一个常数，而这个归结为选择这个物理量度量单位的自然任意性。
进行一般性讨论，考虑两个拉格朗日函数 $L’(q,\dot{q},t)$ 和 $L(q,\dot{q},t)$ ，它们相差某个坐标和时间函数$f(q,t)$对时间的全导数：
$$ L’(q,\dot{q},t)=L(q,\dot{q},t) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}f(q,t) $$
计算两个拉格朗日函数对应的积分可的关系式：
$$\begin{aligned} S’ &= \int_{t_{1}}^{t_{2}} L’(q,\dot{q},t) \mathrm{d} t = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\dot{q},t) \mathrm{d}t + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{dt}f(q,t) \mathrm{d} t \\ &= S+f(q^{(2)},t_2)-f(q^{(1)},t_1) \end{aligned} $$
即 $S$ 和 $S’$ 相差一个附加项，该附加项会在变分时消失，条件 $\delta S’=0$ 和 $\delta S=0$ 完全等价，因而微分方程也相同。
可见拉格朗日函数仅可以定义到相差一个对时间和坐标任意函数的时间全导数项。
3. 伽利略相对性原理
为了研究力学现象必须选择参考系，一般来说运动规律在不同的参考系下具有不同的形式。假如任意选择参考系，则可能使确定非常简单现象的规律在形式上变得十分繁琐。这自然产生一个问题，即如何选择参考系使得力学规律在形式上变得最简单。
相对于任意的参考系，空间是非均匀且各项异性的。这就是说，如果某个物体与其他物体没有相互作用，它在空间中的不同位置和不同的指向在力学意义上是不等价的。同样，一般情况下任意参考系中时间也是非均匀的，即不同的时刻也是不等价的。
然而，似乎总存在某种参考系，空间相对于它是均匀的且各向同性的，时间相对于它是均匀的。这样的参考系称为惯性参考系。特别是，在这样的惯性参考系中，在某个时刻静止的自由物体将永远保持静止。
对于惯性参考系中自由运动的质点，我们立即可以得到其拉格朗日函数形式的一些结论。时间和空间的均匀性意味着这个函数不显含质点的径矢 $\textbf{r}$ 和时间 $t$ ，即$L$只是速度 $v$ 的函数。由于空间各向同性，拉格朗日函数也必是不依赖于矢量 $\textbf{v}$ 的方向，只能是速度大小的函数，也就是说 $L$ 是 $\textbf{v}^2=v^2$ 的函数：
$$ L=L(v^2) $$
由于拉格朗日函数不显含质点的径矢 $\textbf{r}$ 可知 $\partial L/ \partial \textbf{r}=0$ ，拉格朗日方程可以写成
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \textbf{v}}=0 $$
由此得到 $\partial L / \partial \textbf{v} =const$ 。而 $\partial L / \partial \textbf{v}$ 只是速度的函数，故
$$\mathbf{v} =const $$
可见，在惯性参考系中质点任何自由运动的速度的大小和方向都不改变，这就是惯性定律。
如果我们在已有的这个惯性参考系以外，再引入一个惯性参考系，它相对于第一个惯性参考系作匀速直线运动，则相对于这两个参考系的自由运动规律是完全相同：自由运动仍是匀速直线运动。
实验证明，不仅自由运动规律相对于这两个参考系完全相同，所有力学关系式相对于这两个参考系都是等价的。因此不是一个，而是无穷多个惯性参考系，它们相互作匀速直线运动。在这些参考系中时间和空间的性质都是相同的，力学规律也是相同的。这个结论称为伽利略相对性原理，这是力学中最重要的原理之一。
无穷多个这样的参考系的力学上的完全等价性还表明，不存在比其它参考系更优先选取的一个“绝对”惯性参考系。
设两个不同参考系 $K$ 和 $ K’$ ，其中 $K’$ 相对于 $K$ 以速度 $\textbf{V}$ 运动，同一个质点相对于这两个参考系的坐标 $\textbf{r}$ 和$\textbf{r}’$ 满足的关系式
$$ \mathbf{r}=\mathbf{r}’+\mathbf{V} t $$
而且认为这两个参考系中的时间间隔是相同的：
$$ t=t’ $$
即
绝对时间假设，它是经典力学的基础之一。上面两个式子被称为伽利略变换。
伽利略相对性原理可以表述为：力学运动方程在伽利略变换下具有不变性。
4. 自由质点的拉格朗日函数
下面研究拉格朗日函数的形式，首先研究一个最简单的例子——质点相对于惯性参考系的自由运动。我们知道这种情况下的拉格朗日函数只依赖于速度的平方。我们利用伽利略相对性原理来确定这个依赖的关系式。
如果惯性参考系 $K$ 以无穷小的速度 $\vec{\varepsilon}$ 相对于另一个惯性参考系 $K’$ 运动，则有 $\textbf{v}’=\textbf{v}+\vec{\varepsilon}$ ，拉格朗日函数 $L(v^2)$ 经过伽利略变换后得到 $L’$ ，由于在所有惯性参考系中运动方程的形式都相同，故如果 $L’$ 和 $L(v^2)$ 存在差异的话，也只能相差某个关于时间和坐标的函数的全导数。于是有
$$ L’=L(v’^{2}) =L(v^2+2 \mathbf{v} \cdot \vec{\varepsilon} +{\varepsilon}^2)$$
将这个表达式展开成 $\vec{\varepsilon}$ 的幂级数并且忽略一阶以上的无穷小量得：
$$ L(v’^{2}) = L(v^2)+2 \frac{\partial L}{\partial v^2} \mathbf{v} \cdot \vec{\varepsilon}$$
只有当该等式右边的第二项于速度 $\mathbf{v}$ 呈线性依赖关系时，它才能算是时间的全导数。因此 $ \frac{\partial L}{\partial v^2} $ 不依赖于速度，即该情况下拉格朗日函数与速度平方成正比：
$$ \begin{equation} L = \frac{m}{2}v^2 \end{equation} $$
其中 $m$ 是常数。
由于拉格朗日函数在速度无穷小的变换下满足伽利略相对性原理可知，在参考洗 $K$ 以有限速度 $\mathbf{V}$ 相对于 $K’$ 运动的情况下，拉格朗日函数也满足该原理。事实上
$$ \begin{aligned} L’ &= \frac{m}{2}v’^{2}=\frac{m}{2}(\mathbf{v}+\mathbf{V})^2 \\ &= \frac{m}{2}v^{2} +2\frac{m}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{V}+ \frac{m}{2}V^2 \end{aligned} $$
或者
$$ L’=L+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (2\frac{m}{2} \mathbf{r} \cdot \mathbf{V} + \frac{m}{2}V^{2}t ) $$
第二项是时间的全导数，可以略去。
出现在自由运动质点的拉格朗日函数(2)中物理量 $m$ 称为质点的质量。根据拉格朗日函数的可加性，对于无相互作用的质点组成的自由质点系，有
$$ \begin{equation} L =\sum_{a} \frac{m_{a} v_{a}^{2}}{2} \end{equation} $$
必须强调，只有考虑到可加性，给出的质量定义才有实际的物理意义。在第2节中曾经指出，总是可以将拉格朗日函数乘以常数而不改变方程。对于函数(3)，乘以常数就相当于改变了质量的单位，不同质点的质量之间的比例关系却具有实际意义，不会发生改变。
容易看出，质量不可能是负的。事实上，根据最小作用量原理，质点从空间点 $1$ 到空间点 $2$ 的真实运动，使得积分
$$ S=\int_{1}^{2} \frac{mv^2}{2} \mathrm{d}t $$
取得最小值。假如质量是负的，对于质点快速离开点 $1$ 再快速接近点 $2$ 的轨迹，作用量可以取绝对值任意大的负值，不可能有最小值。
注意到
$$ v^2= \left( \frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{d} t} \right)^2=\frac{\mathrm{d} l^2}{\mathrm{d} t^2} $$
是有用的。因此为了得到拉格朗日函数只需要求出在特定坐标系中弧长微元 $\mathrm{d}l$ 的平方。
例如，在笛卡尔坐标中 $\mathrm{d}l^2 = \mathrm{d}x^2 +\mathrm{d}y^2 +\mathrm{d}z^2 $ ,进而有
$$ L=\frac{m}{2} (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) $$
在柱坐标系中 $\mathrm{d}l^2 = \mathrm{d}r^2+r^2 \mathrm{d} \varphi^2 +\mathrm{d} z^2$，进而有
$$ L= \frac{m}{2} (\dot{r}^2+r^2 \dot{\varphi}^2+\dot{z}^2)$$
在球坐标系中 $ \mathrm{d}l^2 = \mathrm{d}r^2+r^2 \mathrm{d} \theta^2 +r^2 \mathrm{sin}^2 \theta \mathrm{d} \varphi^2$，进而有
$$ L= \frac{m}{2} (\dot{r}^2+ r^2 \dot{\theta}^2 +r^2 \mathrm{sin}^2\theta \dot{\varphi}^2) $$
5. 质点系的拉格朗日函数
下面研究一种质点系，其质点之间有相互作用，但是不受外部物体作用，称为封闭质点系。为了描述质点之间的相互作用，可以在自由质点系的拉格朗日函数(3)中增加坐标的某一函数（根据相互作用的性质确定，这个结论仅限于经典的力学范畴）。将这个函数记为 $-U$，则有
$$ \begin{equation} L =\sum_{a} \frac{m_{a} v_{a}^{2}}{2} - U(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots) \end{equation} $$
其中 $\mathbf{r}_{a}$ 是第 $a$ 个质点的径矢。这是封闭封闭质点系拉格朗日函数的一般形式。函数 $U$ 称为质点系的势能，而
$$ T =\sum_a \frac{m_a v_a^2}{2} $$
称为质点系的动能。
势能仅依赖于所有质点在同一时刻的位置，这意味着其中任何质点位置的改变立刻影响到所有其它质点，可以说相互作用是瞬间传递。这个相互作用的性质在经典力学中是必然的，它紧密联系着经典力学的基本前提，即绝对时间假设和伽利略相对性原理，如果相互作用不是瞬间传递的。即以一个有限速度传递，而时间的绝对性意味着通常的速度相加法则适用于所有现象，因而在有相对运动的不同参考系中传递速度也不相同。于是相互作用的物体的运动规律在不同惯性参考系中也不相同，这就违背了伽利略相对性原理。
在第3节中我们只提到了时间的均匀性。拉格朗日函数的形式(4)表明，时间不仅是均匀的，而且是各项同性的，即时间在两个方向都是相同的。事实上，用 $-t$ 代替 $t$ 不会改变拉格朗日函数，进而也不会改变运动方程。换句话来说，如果在参考系中某种运动是可能的，则逆运动也是可能的，即可以按照相反的顺序经历前述运动中相同的状态。在这个意义下，遵循经典力学定律的所有运动都是可逆的。
知道拉格朗日函数之后就可以建立运动方程：
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}_a} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_a } $$
将 (4) 带入后得：
$$ \begin{equation} m_a \frac{\mathrm{d} \mathbf{v}_a}{\mathrm{d}t} = - \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} \end{equation}$$
这种形式的运动方程称为牛顿方程，是相互作用质点系力学的基础。上述方程 (5) 右端的矢量
$$ \begin{equation} \mathbf{F}_a = - \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} \end{equation} $$
称为作用在第 $a$ 个质点的力。它和 $U$ 一样，只依赖于质点的坐标，而不是依赖于速度。因此方程 (5) 表明，质点的加速度矢量也只是坐标的函数。
势能可以增减任意常数而不改变运动方程。选择这个任意常数的最自然的和通用的方法是，当无限增大质点间距离时势能趋向于零。
如果描述运动的不是笛卡尔坐标，而是任意的广义坐标 $q_i$，则为了得到新的拉格朗日函数必须进行相应的变换：
$$ x_a = f_a (q_1,q_2,\cdots,q_i) , \quad \dot{x}_a = \sum_k \frac{\partial f_a}{\partial q_k} \dot{q}_k \ ,\quad \cdots$$
将这些表达式带入函数
$$ L= \frac{1}{2} \sum_a m_a (\dot{x}_a^2+\dot{y}_a^2+\dot{z}_a^2) - U $$
可得到如下形式的拉格朗日函数：
$$ \begin{equation} L=\frac{1}{2} \sum_{ik} a_{ik}(q) \dot{q}_i \dot{q}_k - U(q) \end{equation} $$
其中 $a_{ik}$ 只是广义坐标的函数。用广义坐标写出的动能仍是速度的二次函数，但是也依赖于广义坐标。
到此为止我们只研究封闭质点系。下面研究非封闭质点系 $A$，它与运动完全已知的质点系 $B$ 相互作用。这种情况下称 $A$ 在（由 $B$ 产生的）给定的外场中运动。根据最小作用原理推导运动方程是要对每个广义坐标进行独立变分（即把其它坐标看作好像已知），因此，可将质点系 $A+B$ 的拉格朗日函数 $L$ 中的广义坐标 $q_B$ 用给定的时间函数代替，由此得到质点系 $A$ 的拉格朗日函数 $L_A$。
假如质点系 $A+B$ 是封闭的，则有
$$ L = T_A(q_A,\dot{q}_A) + T_B(q_B,\dot{q}_B) - U(q_A,q_B)$$
其中前两项分别是系统 $A$ 和 $B$ 的动能，第三项是 $A+B$ 的势能， 将广义坐标 $q_B$用已知的时间函数代替后，$T_B(q_B,\dot{q}_B)$ 是只依赖于时间的函数（因此也是某个时间函数的全导数），可以从 $L$ 中略去。于是
$$ L = T_A(q_A,\dot{q}_A) - U(q_A,q_B(t))$$
可见，在外场中的质点系的运动由通常形式的拉格朗日函数描述，仅有的差别就在于势能可能显含时间。
例如，对于外场中运动的单个质点，拉格朗日函数的一般形式为
$$ L = \frac{mv^2}{2} - U(\mathbf{r},t) $$
而运动方程写成
$$ m \dot{\mathbf{v}} = - \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}} $$
如果一质点在一个场中的任意位置受到相同的力 $F$ ，则称这样的外场是均匀的。显然在均匀外场中势能可以写成：
$$ U = - \mathbf{F} \cdot \mathbf{r} $$
在结束本节之前，我们还需对拉格朗日方程在各种问题中如何应用做些说明。我们经常需要处理这样的力学系统，其中不同物体（或者质点）之间的相互作用以约束的形式呈现，即限制它们的相对位置。
实际上这种约束是通过杆、线、铰等实现的，这给运动带来性的影响因素，即运动伴有接触处有摩擦。一般来说，这个问题超越了纯力学的范畴。
然而，很多情况下摩擦是比较弱的，他对运动的影响可以忽略，如果还可以忽略“连接物”的质量，则约束的作用仅仅是减少系统的自由度 $s$ 到小于 $3N$ 的值。这样又可以利用拉格朗日函数 (7) 来确定运动，独立的广义坐标数就等于实际的自由度。
习题
试求下面在均匀重力场（重力加速度为 $g$）中各系统的拉格朗日函数。
习题1 ： 平面双摆（图1-1）。
解：取绳 $l_1$ 和 $l_2$ 分别与竖直方向的夹角 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 为广义坐标。对质点 $m_1$ 有
$$ \begin{aligned} T_1 &= \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 \\ U_1 &= - m_1 g l_1 \mathrm{cos}\varphi_1 \end{aligned} $$
为了求出第二个质点的动能和势能，我们用角 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 表示第二个质点的笛卡尔坐标 $x_2$，$y_2$（坐标原点取在悬挂点，$y$ 轴竖直向下）：
$$ x_2 = l_1 \mathrm{sin} \varphi_1 + l_2 \mathrm{sin} \varphi_2 $$
$$ y_2 = l_1 \mathrm{cos} \varphi_1 + l_2 \mathrm{cos} \varphi_2 $$
于是动能为
$$\begin{aligned} T_2 &= \frac{1}{2} m_2 (\dot{x}_2^2 +\dot{y}_2^2) \\ &= \frac{m_2}{2} \left[ l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + 2 l_1 l_2 \mathrm{cos}(\varphi_1-\varphi_2) \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \right] \end{aligned} $$
则势能为
$$ U_2 = -m_2 g y_2 =-m_2 g (l_1 \mathrm{cos} \varphi_1 + l_2 \mathrm{cos} \varphi_2 )$$
最后可得系统的拉格朗日函数
$$ \begin{aligned} L &= (T_1 -U_1) + (T_2 -U_2) \\ &= \frac{m_1 + m_2}{2} l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{m_2}{2} l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \mathrm{cos}(\varphi_1 - \varphi_2) \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \\ & \quad+ (m_1 +m_2) g l_1 \mathrm{cos}\varphi_1 + m_2 g l_2 \mathrm{cos}\varphi_2 \end{aligned} $$
习题2 ： 质量为 $m_2$ 的平面摆，其悬挂点（质量为 $m_1$）可以沿着位于 $m_2$ 运动平面内的水平直线运动（图1-2）。
解：设质点 $m_1$ 的坐标为 $x$ ，绳的长度为 $l$ ，绳于竖直方向的夹角为 $\varphi$ ，则对于质点 $m_1$
$$ \begin{aligned} T_1 &= \frac{1}{2} m_1 \dot{x}^2 \\ U_1 &= 0 \end{aligned} $$
为了求出第二个质点的动能和势能，我们用 $x$、$l$ 和 $\varphi$ 表示第二个质点的笛卡尔坐标 $x_2$，$y_2$
$$ \begin{aligned} x_2 &= x+ l\ \mathrm{sin}\varphi \\ y_2 &= l\ \mathrm{cos}\varphi \end{aligned} $$
则对于质点 $m_2$ 有
$$ \begin{aligned} T_2 &= \frac{1}{2} m_2 (\dot{x}_2^2 +\dot{y}_2^2) \\ &= \frac{m_2}{2} \dot{x}^2 + m_2 l \dot{x} \dot{\varphi}\ \mathrm{cos}\varphi + \frac{m_2}{2} l^2 \dot{\varphi}^2 \\ U_2 &= -m_2 g y_2 = -m_2 g l\ \mathrm{cos} \varphi \end{aligned} $$
最后可得系统的拉格朗日函数
$$ \begin{aligned} L &= (T_1 -U_1) + (T_2 -U_2) \\ &= \frac{m_1 + m_2}{2} \dot{x}^2 + \frac{m_2}{2} \left( l^2 \dot{\varphi}^2 + 2 l \dot{x} \dot{\varphi}\ \mathrm{cos}\varphi \right) \\ & \quad + m_2 g l\ \mathrm{cos}\varphi \end{aligned} $$
习题3 ：设有一平面摆，其悬挂点：
a. 沿着竖直圆以常圆频率 $\gamma$ 运动（图1-3），
b. 按规律 $a \mathrm{cos} \gamma t$ 在摆的运动平面内水平振动，
c. 按规律 $a \mathrm{cos} \gamma t$ 竖直振动。
解：a. 质点 $m$ 的坐标为（设逆时针运动 $y$ 轴竖直向下）：
$$ \begin{aligned} x &= a \ \mathrm{cos} \gamma t + l\ \mathrm{sin} \varphi \\ y &= -a\ \mathrm{sin} \gamma t + l\ \mathrm{cos} \varphi \end{aligned} $$
动能和势能分别为
$$ \begin{aligned} T &= \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) \\ &=\frac{m}{2} \left[ a^2 \gamma^2 + l^2 \dot{\varphi}^2 + 2a \gamma l \dot{\varphi}\ \mathrm{sin}(\varphi -\gamma t) \right] \\ U &= -m g y = mg (a\ \mathrm{sin}\gamma t - l\ \mathrm{cos} \varphi ) \end{aligned} $$
则拉格朗日函数
$$\begin{aligned} L &= T - U \\ &= \frac{m}{2} (a^2 \gamma^2 +l^2 \dot{\varphi}^2) + m a \gamma l \dot{\varphi}\ \mathrm{sim}(\varphi - \gamma t) \\ & \quad - m g a\ \mathrm{sin}\gamma t + m g l\ \mathrm{cos}\varphi \end{aligned} $$
把仅仅依赖于时间的项以及可以写成为 $mla \gamma \mathrm{cos}(\varphi - \gamma t)$ 对时间的全导数的项略去，可得
$$ \begin{aligned} L &= \frac{m l^2}{2} \dot{\varphi}^2 + m l a \gamma^2\ \mathrm{sin}(\varphi - \gamma t) + m g l\ \mathrm{cos} \varphi \end{aligned} $$
b. 质点 $m$ 的坐标为（设 $y$ 轴竖直向下）：
$$ \begin{aligned} x &= a \ \mathrm{cos} \gamma t + l\ \mathrm{sin} \varphi \\ y &= l\ \mathrm{cos} \varphi \end{aligned} $$
动能和势能分别为
$$ \begin{aligned} T &= \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) \\ &=\frac{m}{2} \left[ a^2 \gamma^2 \ \mathrm{sin}^2 \gamma t + l^2 \dot{\varphi}^2 - 2a \gamma l \dot{\varphi}\ \mathrm{sin} \gamma t \ \mathrm{cos} \varphi \right] \\ U &= -m g y = - mg l\ \mathrm{cos} \varphi \end{aligned} $$
则拉格朗日函数
$$\begin{aligned} L &= T - U \\ &= \frac{m}{2} (a^2 \gamma^2 \ \mathrm{sin}^2 \gamma t +l^2 \dot{\varphi}^2) - m a \gamma l \dot{\varphi}\ \mathrm{sin} \gamma t \ \mathrm{cos} \varphi \\ & \quad + m g l\ \mathrm{cos}\varphi \end{aligned} $$
同理，把仅仅依赖于时间的项以及可以写成为 $m a \gamma l\ \mathrm{sin} \gamma t \ \mathrm{sin} \varphi$ 对时间的全导数的项略去，可得
$$ \begin{aligned} L &= \frac{m l^2}{2} \dot{\varphi}^2 + m a \gamma^2 l \ \mathrm{cos} \gamma t \ \mathrm{sin} \varphi + m g l\ \mathrm{cos} \varphi \end{aligned} $$
c. 质点 $m$ 的坐标为（设 $y$ 轴竖直向下）：
$$ \begin{aligned} x &= l\ \mathrm{sin} \varphi \\ y &= a \ \mathrm{cos} \gamma t + l\ \mathrm{cos} \varphi \end{aligned} $$
动能和势能分别为
$$ \begin{aligned} T &= \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) \\ &=\frac{m}{2} \left[ a^2 \gamma^2 \ \mathrm{sin}^2 \gamma t + l^2 \dot{\varphi}^2 + 2a \gamma l \dot{\varphi}\ \mathrm{sin} \gamma t \ \mathrm{sin} \varphi \right] \\ U &= -m g y = - mg (a\ \mathrm{cos}\gamma t + l\ \mathrm{cos} \varphi ) \end{aligned} $$
则拉格朗日函数
$$\begin{aligned} L &= T - U \\ &= \frac{m}{2} (a^2 \gamma^2 \ \mathrm{sin}^2 \gamma t +l^2 \dot{\varphi}^2) + m a \gamma l \dot{\varphi}\ \mathrm{sin} \gamma t \ \mathrm{sin} \varphi \\ & \quad + mg (a\ \mathrm{cos}\gamma t + l\ \mathrm{cos} \varphi ) \end{aligned} $$
同理，把仅仅依赖于时间的项以及可以写成为 $m a \gamma l\ \mathrm{sin} \gamma t \ \mathrm{cos} \varphi$ 对时间的全导数的项略去，可得
$$ \begin{aligned} L &= \frac{m l^2}{2} \dot{\varphi}^2 + m a \gamma^2 l \ \mathrm{cos} \gamma t \ \mathrm{cos} \varphi + m g l\ \mathrm{cos} \varphi \end{aligned} $$
习题4：在图1-4所示的力学系统中，质点 $m_2$ 沿着竖直轴运动，整个系统以常角速度 $\Omega$ 绕该轴转动。
解：设线段 $a$ 与竖直方向夹角为 $\theta$ ，系统绕竖直轴转动的角度为 $\varphi$ ，则 $\dot{\varphi}= \Omega$ 。对于每个质点 $m_1$ 的微小位移有
$$ \mathrm{d} l_1^2 =a^2 \mathrm{d} \theta^2 + a^2 \mathrm{sin}^2 \theta \mathrm{d} \varphi^2$$
质点 $m_2$ 到悬挂点 $A$ 的距离为 $2a \mathrm{cos}\theta$ ，因此
$$ \mathrm{d} l_2 = -2 a\ \mathrm{sin} \theta \mathrm{d}\theta$$
则拉格朗日函数为
$$ \begin{aligned} L &= T - U \\ &= m_1 \left( a^2 \dot{\theta}^2 + a^2 \Omega^2 \ \mathrm{sin}^2 \theta \right) +m_2 a^2 \dot{\theta}^2 \mathrm{sin}^2 \theta \\ &\quad + 2 g a (m_1 +m_2) \mathrm{cos} \theta \end{aligned} $$
守恒定律
6. 能量
在力学系统运动过程中，描述其状态的 $2s$ 个变量 $q_i, \dot{q}_i \quad (i=1,2,\cdots,s)$ 随时间的变化。但是存在关于这些变量的某些函数，其值在运动过程中保持恒定，且仅有初始条件决定，这样的函数称为运动积分。
对于具有 $s$ 个自由度的封闭系统，独立的运动积分数等于 $2s-1$，这从下面简单的论证中容易得出。运动方程的通解包含 $2s$ 个任意常数。由于封闭系统的运动方程不显含时间，所以完全可以任意选择初始时刻，总可以将方程解中的任意常数之一选作时间的可加常数 $t_0$ 。从 $2s$ 个函数
$$ q_i = q_i \left( t+t_0, C_1,C_2,\cdots, C_{2s-1} \right) $$
$$ \dot q_i = \dot q_i \left( t+t_0, C_1,C_2,\cdots, C_{2s-1} \right) $$
中消去 $t+t_0$ ，将 $2s-1$ 个任意常数 $C_1,C_2,\cdots, C_{2s-1}$ 表示成 $q_i, \dot{q}_i$ 的函数，这些函数就是运动积分。
然而，并不是所有的运动积分在力学中具有相同的重要性，其中一些运动积分源自时间和空间的均匀性和各项同性这样的基本性质，这种运动积分的恒定不变性才具有深刻的意义。由于这些运动积分便是的量是守恒量，它们具有一个重要的共同性质——可加性。对于几个相互独立部分组成的系统，守恒量的值等于各个部分相应值之和。
可加性使得相应的物理量在力学中具有特别重要的作用。例如，假设两个物体在某时间间隔内相互作用。由于相互作用发生前后，整个系统的每个可加运动积分值就等于两个物体相应值之和，如果已知作用发生前后各个物体的运动状态，那么通过守恒定律就能立即得到与相互作用发生后各物体运动状态有关的各种结论。
我们首先介绍时间均匀性导出的守恒定律。
由于时间的均匀性，封闭系统的拉格朗日函数不显含时间，因此拉格朗日函数对时间的全导数可以写成
$$ \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} = \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot q_i + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \ddot q_i $$
（如果 $L$ 显含时间，右端应该还有 $\partial L/ \partial t$）。利用拉格朗日方程将 $\partial L / \partial q_i$ 替换成 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} $，得
$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} &= \sum_i \dot q_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+ \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \ddot q_i \\ &= \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot q_i \right) \end{aligned} $$
或者写成
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} -L \right) =0 $$
由此可知
$$\begin{equation} E = \sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} -L \end{equation} $$
在封闭系统运动中保持不变，是运动积分，称为系统的
能量。能量与拉格朗日函数的关系是线性的，由拉格朗日函数的可加性可以直接得出能量的可加性。
在上述的推导中我们应用了拉格朗日函数不显含时间的特点，所以能量守恒定律不仅对于封闭系统成立，对于定常外场（即不显含时间）中的系统也是成立。能量守恒的力学系统也称为保守系统。
在第 5 节我们已经已经知道，封闭（或者位于定常外场中的）系统的拉格朗日函数可以写成
$$ L = T(q,\dot{q}) - U(q) $$
其中 $T$ 是速度的二次函数，利用著名的齐次函数的欧拉定理可得
$$ \sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \sum_i \dot q_i \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} = 2T$$
将此式带入式 $(8)$ 中的
$$ E = T(q,\dot q) + U(q) $$
用笛卡尔坐标写成
$$ E = \sum_a \frac{m_a v_a^2}{2} + U(\mathbf{r_1,\mathbf{r}_2,\cdots})$$
可见，系统的能量可以表示为本质不同的两项之和，依赖于速度的动能和仅依赖于质点坐标的势能。
7. 动量
另一个守恒定律与空间的均匀性有关
根据空间均匀性，封闭力学系统在空间中整体平移时，其性质保持不变。因此我们研究一个无穷小的平移 $ \vec \varepsilon$ ，并求拉格朗日函数保持不变的条件。
平移就是将系统中所有的质点移动相同的位移 $ \vec \varepsilon$ 的变换，即径矢 $\mathbf{r}_a \rightarrow \mathbf{r}_a + \vec \varepsilon $。在速度不变时，坐标的无穷小的改变使得拉格朗日函数产生的变化为
$$ \delta L = \sum_a \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_a} \cdot \delta \mathbf{r}_a = \vec \varepsilon \cdot \sum_a \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_a} $$
其中求和是对系统中所有质点进行的。对于任意 $ \vec \varepsilon$ 要求 $\delta L = 0$ 等价于
$$\begin{equation} \sum_a \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_a} = 0 \end{equation} $$
根据拉格朗日方程 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}_a} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_a } $ 得
$$ \sum_a \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \mathbf v_a} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum_a \frac{\partial L}{\partial \mathbf v_a} = 0 $$
于是我们得到结论：封闭力学系统的矢量
$$\begin{equation} \mathbf{P} = \sum_a \frac{\partial L}{\partial \mathbf v_a} \end{equation}$$
在运动过程中保持不变。矢量 $P$ 称为系统的动量。对拉格朗日函数 (4) 求导可得用质点速度表示的动量：
$$ \begin{equation} \mathbf{P} = \sum_a m_a \mathbf{v}_a \end{equation}$$
动量的可加性是显然的。与能量不同之处在于，无论质点之间的相互作用是否可以忽略，系统的动量都等于各个质点的动量
$$ \mathbf{p}_a = m_a \mathbf{v}_a $$
之和.
只有在没有外场的情况下，动量的矢量的三个分量都守恒。然而，在有外场的情况下，如果势能不显含某个笛卡尔坐标，则相应的该方向的动量分量守恒。显然，沿着这个不出现在势能中的坐标相应的坐标轴平移不会改变力学系统的性质，动量在该轴上投影守恒。例如，在方向沿着 $z$ 轴 的均匀场中，沿着 $x$ 和 $y$ 轴的动量分量守恒。
等式 (9) 的物理含义非常简单。导数 $\partial L /\partial \mathbf{r}_a = - \partial U / \partial \mathbf{r}_a $ 是作用在第 $a$ 个质点上的力 $\mathbf{F}_a$ 。等式 (9) 表明，作用在封闭系统的所有质点上的力之和等于零：
$$\begin{equation} \sum_a \mathbf{F}_a = 0 \end{equation}$$
特别地，当系统只由两个质点组成时，$\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 = 0$ ，两个质点的相互作力大小相等、方向相反。这就是著名的作用与反作用互等定律（牛顿第三定律）。
如果广义坐标 $q_i$ 描述运动，则拉格朗日函数对广义速度的导数
$$ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} $$
称为广义动量，而它对广义坐标的导数
$$ F_i = \frac{\partial L}{\partial q_i} $$
称为广义力，采用上述符号，拉格朗日方程可以写成
$$\begin{equation} \dot{p}_i = F_i \end{equation}$$
在笛卡尔坐标下广义动量就是矢量 $\mathbf{p}_a$ 的分量。一般情况下 $p_i$ 是广义速度 $\dot{q}_i$ 的线性齐次函数，不能化为质量和速度的积。
习题： 质量为 $m$ 的质点以速度 $\mathbf{v}_1$ 从一个势能为常数 $U_1$ 的半空间运动到另一个势能为常数 $U_2$ 的半空间。求质点运动方向的改变。
解：势能不依赖于其轴平行于两个半空间分界面的坐标，因此质点动量在该分界面上的投影守恒。用 $\theta_1$，$\theta_2$ 表示质点穿越分界面前后速度 $\mathbf{v}_1$，$\mathbf{v}_2$ 与分界面法线的夹角，于是有：
$$ v_1 \mathrm{sim} \theta_1 = v_2 \mathrm{sin} \theta_2 $$
则 $ v_1$ 和 $v_2$ 之间的关系可以由能量守恒定律给出，最后可求的
$$ \frac{\mathrm{sin} \theta_1 }{\mathrm{sin} \theta_2 } = \sqrt{1+ \frac{2}{m v_1^2}(U_1 - U_2) }$$
8. 质心
封闭系统的动量对于不同的惯性参考系有不同的值。如果参考系 $K’$ 相对于参考系 $K$ 以速度 $\mathbf{V}$ 运动，则质点相对于这两个参考系的速度 $\mathbf{v}’_a$ 和 $\mathbf{v}_a$ 满足关系式 $\mathbf{v}_a = \mathbf{v}’_a + \mathbf{V}$。因此在这两个参考系中动量值 $\mathbf{P}$ 和 $ \mathbf{P’}$ 满足关系式
$$ \begin{aligned} \mathbf{P} &= \sum_a m_a \mathbf{v}_a \\ &= \sum_a m_a \mathbf{v}’_a + \mathbf{V} \sum_a m_a \end{aligned} $$
或者
$$ \begin{equation} \mathbf{P} = \mathbf{P}’ + \mathbf{V} \sum_a m_a \end{equation} $$
特别地，一定存在使得总动量等于零的参考系 $K’$ 。令 上式中 $\mathbf{P}’ = 0$ ，求得参考系 $K’$ 的速度为
$$\begin{equation} \mathbf{V} = \frac{\mathbf{P}}{\sum m_a} = \frac{\sum m_a \mathbf{v}_a}{\sum m_a} \end{equation} $$
如果在给定参考系下力学系统的总动量为零，则称系统相对该参考系静止。这是单个质点静止概念的自然推广。公式 (15) 给出的速度 $\mathbf{V}$ ，具有动量不为零的力学系统“整体运动”速度的含义。由此可见，动量守恒定律自然地给出了系统整体静止和速度的概念。
公式 (15) 还表明，动量 $\mathbf{P}$ 和系统整体运动速度 $\mathbf{V}$ 的关系，就如同一个质点动量和速度的关系，该质点的质量等于系统中所有质点的质量之和 $\mu = \sum m_a$ 。这正是质量的可加性。
公式 (15) 右端还可以看作下面表达式对时间的导数
$$\begin{equation} \mathbf{R} = \frac{\sum m_a \mathbf{r}_a}{\sum m_a} \end{equation} $$
还可以说，系统整体运动的速度就是矢径为 $\mathbf{R}$ 的点在空间中的运动速度，这个点称为系统的质心。
在研究封闭系统的力学性质时，自然采用质心静止的参考系，这就可以不必研究系统整体的匀速直线运动，这样的运动并不重要。
整体静止的力学系统的能量通常称为内能 $E_{int}$ ，它包括系统内质点的相对运动动能和相互作用势能。以速度 $\mathbf{V}$ 作整体运动的系统的能量可以写成
$$ \begin{equation} E = \frac{\mu V^2}{2} + E_{int} \end{equation}$$
尽管这个公式非常显然，但是我们还是给出以下的推导。力学系统相对于参考系 $K$ 和 $K’$ 的能量 $E$ 和 $E’$ 的关系为
$$ \begin{aligned} E &= \frac{1}{2} \sum_a m_a v_a^2 +U \\ &= \frac{1}{2} \sum_a m_a (\mathbf{v}’_a +\mathbf{V})^2 + U \\ &= \frac{\mu V^2}{2} + \mathbf{V} \cdot \sum_a m_a \mathbf{v}’_a + \frac{1}{2} \sum_a m_a v’^2 + U \end{aligned} $$
或者
$$\begin{equation} E= E’ + \mathbf{V} \cdot \mathbf{P}’ + \frac{\mu V^2}{2} \end{equation} $$
这个公式给出了相对两个不同惯性参考系的能量关系，类似于公式 (14) 给出的动量关系。如果在参考系 $K’$ 中系统质心静止，则 $\mathbf{P}’ = 0$，$E’ = E_{int}$ 这时就得到公式 (17)。
习题： 求相对两个不同惯性参考系的作用量之间的变换关系。
解：拉格朗日函数等于动能和势能之差，显然它按照类似于公式 (18) 的形式变换
$$ L = L’+ \mathbf{V} \cdot \mathbf{P}’ + \frac{\mu V^2}{2} $$
将该等式对时间积分可得所要求的作用量的变换关系
$$ S = S’ + \mu \mathbf{V} \cdot \mathbf{R}’ + \frac{\mu V^2}{2} t $$
其中 $\mathbf{R}’$ 是在参考系 $K’$ 中系统的质心的矢径。
9. 角动量
下面研究由空间各向同性得到的守恒定律。
各向同性意味着封闭系统整体在空间中任意转动时，力学性质保持不变。因此，我们研究系统整体的无穷小转动并求出拉格朗日函数保持不变的条件。
我们引入无穷小的转动矢量 $\delta \vec{\varphi}$ ，其大小等于转角 $\delta \varphi$ ，方向沿着转动轴（转动方向与 $\delta \vec{\varphi}$ 方向之间符合右手螺旋法则）。
我们首先研究，在系统转动时，从坐标原点（位于转动轴上）指向系统中任意质点的径矢的位移。径矢端点的线位移与转角的关系为（如图 2-1 所示）
$$ | \delta \mathbf{r} | = r \mathrm{sin}\theta \cdot \delta \varphi $$
位移矢量的方向垂直过 $\mathbf{r}$ 和 $\delta \vec{\varphi}$ 的平面。显然有
$$ \delta \mathbf{r} = \delta \vec{\varphi} \times \mathbf{r} $$
在系统转动时不仅径矢的方向改变，而且所有质点速度也发生改变，并且所有的矢量变化规律相同。所以速度相对固定坐标系的增量为
$$ \delta \mathbf{v} = \delta \vec{\varphi} \times \mathbf{v} $$
将这些表达式带入转动时的拉格朗日函数不变的条件
$$ \delta L = \sum_a \left( \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r_a}} \cdot \delta \mathbf{r}_a + \frac{\partial L}{\partial \mathbf v_a} \cdot \delta \mathbf v_a \right) = 0$$
并作代换 $\partial L /\partial \mathbf v_a = \mathbf{p}_a$ ，$\partial L / \partial \mathbf r_a = \mathbf {\dot{p}}_a$ ，得
$$ \sum_a \left[ \mathbf {\dot{p}}_a \cdot ( \delta \vec{\varphi} \times \mathbf r_a ) + \mathbf p_a \cdot (\delta \vec{\varphi} \times \mathbf v_a) \right] = 0$$
置换因子的次序并将 $\delta \vec{\varphi}$ 移到求和号之外，
$$ \begin{aligned} & \delta \vec{\varphi} \cdot \sum_a (\mathbf r_a \times \mathbf{\dot{p}}_a + \mathbf v_a \times \mathbf p_a) \\ &= \delta \vec{\varphi} \cdot \frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d} t} \sum_a \mathbf r_a \times \mathbf p_a \\ &= 0 \end{aligned} $$
由于 $\delta \vec{\varphi}$ 的任意性可得
$$ \frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d} t} \sum_a \mathbf r_a \times \mathbf p_a = 0 $$
即在封闭力学系统运动过程中矢量
$$ \begin{equation} \mathbf M = \sum_a \mathbf r_a \times \mathbf p_a \end{equation} $$
保持不变，这个物理量称为系统的角动量。类似于线动量，这个物理量不依赖于质点之间是否有相互作用，它的可加性时显然的。
可加的运动积分就这些。就是说，任何封闭系统总共有 7 个这样的运动积分：能量、动量的三个分量和角动量的三个分量。
既然在角动量的定义中出现了质点的径矢，它的取值通常就是与坐标原点的选取有关。假定两个坐标原点相差矢量 $\mathbf{a}$ ，同一个点对这两个坐标原点的径矢分别为 $\mathbf r_a$ 和 $\mathbf r’_a$ ，则有关系式 $\mathbf r_a = \mathbf r’_a + \mathbf a$ 。 因此有
$$ \begin{aligned} \mathbf M &= \sum_a \mathbf r_a \times \mathbf p_a \\ &= \sum_a \mathbf r’_a \times \mathbf p_a + \mathbf a \times \sum_a \mathbf p_a \end{aligned} $$
即
$$ \begin{equation} \mathbf M = \mathbf M’ + \mathbf a \times \mathbf P \end{equation} $$
由此可知，只有在系统整体静止（即 $\mathbf P = 0$ ）时，其角动量不依赖于坐标原点的选择。角动量的这种不确定性不会影响到角动量守恒定律，因为封闭系统的动量也守恒。
我们来推导相对于不同惯性参考系 $K$ 和 $K’$ 的角动量之间的关系。设参考系 $K’$ 相对于 $K$ 的速度 $\mathbf V$ ，假设它们的坐标原点在某给定时刻重合。那么质点相对于两个参考系的径矢相同，速度满足关系： $\mathbf v_a = \mathbf v’_a + \mathbf V$ 。于是有
$$ \begin{aligned} \mathbf M &= \sum_a m_a \mathbf r_a \times \mathbf v_a \\ &= \sum_a m_a \mathbf r_a \times \mathbf v’_a + \sum_a m_a \mathbf r_a \times \mathbf V \end{aligned} $$
右端第一项是相对于参考系 $K’$ 的角动量 $\mathbf M’$ ，在第二项中利用质心径矢公式 (16) ，可得
$$ \begin{equation} \mathbf M = \mathbf M’ + \mu \mathbf R \times \mathbf V \end{equation} $$
这个公式给出了相对于不同参考系的角动量之间的变换关系，与能量关系式 (14) 和动量关系式 (18) 类似。
如果系统整体相对于参考系 $K’$ 静止，则 $\mathbf V$ 是系统质心的速度，而 $\mu \mathbf V$ 是系统相对于参考系 $K$ 的总动量 $\mathbf P$ ，进而有
$$ \begin{equation} \mathbf M = \mathbf M’ + \mathbf R \times \mathbf P \end{equation} $$
就是说，力学系统的角动量由其相对静止的参考系中的“内禀角动量”和整体运动的角动量 $\mathbf R \times \mathbf P$ 构成。
虽然只有封闭系统的角动量（对任意坐标原点）三个分量都守恒，但是在一定限制下，这个守恒定律对于在外场中运动的系统也是成立的。从上面推导可以看出，角动量在外场的对称轴上投影总是守恒的，因为绕该轴转动时系统力学性质不变。当然，这时角动量计算时相对于位于该轴的任意点（坐标原点）的。
最重要的是中心对称外场，即势能仅仅依赖于到空间某个特定点（中心）的距离。显然，在这种场内运动时，系统角动量在任意过中心的轴上投影都守恒。就是说，系统相对场中心的角动量 $\mathbf M$ 守恒。
另一个例子是，在沿着 $z$ 轴的均匀场中角动量投影 $M_z$ 守恒，并且坐标原点可以任意选取。应该指出，角动量在任意轴（我们就取 $z$ 轴）上的投影，都可以由对拉格朗日函数的微分求得：
$$\begin{equation} M_z = \sum_a \frac{\partial L}{ \partial \dot{\varphi}_a} \end{equation} $$
其中坐标 $\varphi$ 是绕 $z$ 轴的转角。根据前面给出的角动量守恒定律的证明过程，这个结论是显然的，也可以直接计算来验证。利用柱坐标系 $r$，$\varphi$，$z$ 代入 $x_a = r_a \mathrm{cos} \varphi_a$ ，$y_a = r_a \mathrm{sin} \varphi_a$，有：
$$\begin{equation} M_z = \sum_a m_a (x_a \dot y_a - y_a \dot x_a ) = \sum_a m_a r_a^2 \dot \varphi_a \end{equation} $$
另一方面，用这些坐标表示时，拉格朗日函数可以写成
$$ L= \frac{m}{2} (\dot{r}^2+r^2 \dot{\varphi}^2+\dot{z}^2) -U $$
将上式代入 (23) 式中即可得 (24)式。
习题1：用柱坐标 $r$，$\varphi$，$z$ 表示质点角动量的笛卡尔坐标分量以及角动量的大小。
解：笛卡尔坐标用柱坐标表示
$$ \begin{aligned} x &= r \ \mathrm{cos}\varphi \\ y &= r \ \mathrm{sin}\varphi \\ z &= z \end{aligned} $$
则角动量的笛卡尔坐标分量以及角动量的大小的柱坐标表示
$$ \begin{aligned} M_x &= m\ \mathrm{sin}\varphi (r \dot{z} -z \dot{r}) -mrz\ \dot{\varphi} \mathrm{cos}\varphi \\ M_y &= m\ \mathrm{cos}\varphi (z \dot{r} - r \dot{z}) -mrz\ \dot{\varphi} \mathrm{sin}\varphi \\ M_z &= mr^2 \dot{\varphi} \\ M^2 & = m^2 r^2 \dot{\varphi}^2 (r^2 +z^2) + m^2 (r \dot{z} -z \dot{r})^2 \end{aligned} $$
习题2：用球坐标 $r$，$\theta$，$\varphi$ 表示质点角动量的笛卡尔坐标分量以及角动量的大小。
解：笛卡尔坐标用球坐标表示
$$ \begin{aligned} x &= r \ \mathrm{sin}\theta \ \mathrm{cos}\varphi \\ y &= r \ \mathrm{sin}\theta \ \mathrm{sin}\varphi \\ z &= r \ \mathrm{cos}\theta \end{aligned} $$
则角动量的笛卡尔坐标分量以及角动量的大小的球坐标表示
$$ \begin{aligned} M_x &= -mr^2 ( \dot{\theta} \mathrm{sin}\varphi + \dot{\varphi} \ \mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta \mathrm{cos}\varphi) \\ M_y &= mr^2 ( \dot{\theta} \mathrm{cos}\varphi - \dot{\varphi} \ \mathrm{sin}\theta \mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\varphi) \\ M_z &= mr^2 \dot{\varphi} \ \mathrm{sin}^2 \theta\\ M^2 & = m^2 r^4 ( \dot{\theta}^2 + \dot{\varphi}^2 \mathrm{sin}^2 \theta) \end{aligned} $$
习题3：在下列场中运动时动量 $P$ 和角动量 $M$ 的哪些分量守恒？
a. 无限大的均匀平面场；
答案：$$ P_x,P_y,M_x \ (无限大平面为xy平面) $$
b. 无限长的均匀圆柱场；
答案：$$ P_z,M_z \ (圆柱轴为z轴) $$
c. 无限长的均匀棱柱场；
答案：$$ P_z \ (棱边平行于z轴) $$
d. 两个点场；
答案：$$M_z \ (两个点位于z轴上) $$
e. 无限长的均匀半平面场；
答案：$$ P_y \ (无限大半平面是xy平面上以y轴为界的) $$
f. 均匀圆锥场；
答案：$$ M_z \ (圆锥轴为z轴) $$
g. 均匀圆环场；
答案：$$ M_z \ (圆环轴为z轴) $$
h. 无限长的均匀圆柱形螺旋线场；
解：绕螺旋轴（$z$ 轴）旋转 $\delta \varphi$ 同时沿着该轴平移 $\frac{h}{2\pi}\delta \varphi$ （$h$ 为螺距），拉格朗日函数不改变哦，所以有
$$ \begin{aligned} \delta L &= \frac{\partial L}{\partial z} \delta z +\frac{\partial L}{\partial \varphi} \delta \varphi \\ &= \left( \dot{P}_z \frac{h}{2\pi} + \dot{M}_z \right) \delta \varphi. \\ &=0 \end{aligned} $$
由此可得
$$ P_z \frac{h}{2\pi} + M_z = \mathrm{const.} $$
10. 力学相似性
拉格朗日函数乘以任意常数不会改变运动方程。在一些重要情况下，利用这点，无需实际求解运动方程就可以得到有关运动性质的一些有用的结论。
这些情况包括那些势能是坐标的齐次函数的情况，即势能函数满足条件
$$ U(\alpha \mathbf r_1,\alpha \mathbf r_1, \cdots,\alpha \mathbf r_n) = \alpha^k U(\mathbf r_1, \mathbf r_2, \cdots,\mathbf r_n) $$
其中 $\alpha$ 是任意常数， $k$ 是函数的其次次数。
我们引入变换，使坐标都变为 $\alpha$ 倍，时间变为 $\beta$ 倍:
$$ \mathbf r_a \rightarrow \alpha \mathbf r_a , \quad t \rightarrow \beta t $$
这时所有的速度 $\mathbf v_a = \mathrm{d} \mathbf r_a / \mathrm{d} t$ 变为 $\alpha / \beta $ 倍，动能变为 $\alpha^2 / \beta^2$ 倍，势能变为 $\alpha^k$ 倍。如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足条件
$$ \frac{\alpha^2}{\beta^2} = \alpha^k $$
即
$$ \beta = \alpha^{1-k/2} $$
则变换的结果是拉格朗日函数乘以常数 $\alpha^k$ ，运动方程保持不变。
所有的质点的坐标改变相同的倍数，意味着变换前后的运动轨迹几何上相似，仅仅是尺寸不同。于是我们得出结论，如果系统的势能是（笛卡尔）坐标的 $k$ 次齐次函数，则由运动方程可以得到一系列几何上相似的不同轨迹，并且（不同轨迹上的相应点）运动时间之比满足关系式
$$ \frac{t’}{t} = \left( \frac{l’}{l} \right)^{1-k/2} $$
其中 $l’/l$ 是两个轨迹线度之比。除了时间以外，在相应时刻上不同运动轨迹上相应点的任何力学量之比是 $l’/l$ 的幂，例如速度、能量和角动量有
$$ \begin{aligned} \frac{v’}{v} &= \left( \frac{l’}{l} \right)^{k/2} \\ \frac{E’}{E} &= \left( \frac{l’}{l} \right)^{k} \\ \frac{M’}{M} &= \left( \frac{l’}{l} \right)^{1+k/2} \end{aligned} $$
下面就前面所讲的举几个例子。
我们会在后面的章节中将会讲到，在微振动的情况下势能是坐标的二次函数（$k=2$）。由上式中运动时间的关系比可知这种振动的周期与振幅无关。
在均匀力场中势能是左边的线形函数，即 $k=1$。由此可得
$$ \frac{t’}{t} =\sqrt{ \frac{l’}{l} } $$
例如，由此可知，对于重力场中的自由落体，下落时间的平方之比等于初始高度之比。
对于两个质点之间的牛顿引力或者两个电荷之间的库仑力，势能都是与点距离成反比，即势能是 $k=-1$ 的齐次函数。这时
$$ \frac{t’}{t} = \left( \frac{l’}{l} \right)^{3/2} $$
例如，由此可得到结论：轨道运动周期的平方与轨道的尺寸的立方成正比。这个结论被称为
开普勒第三定律。
如果力学系统在有限空间运动，势能是坐标的齐次函数，则动能与势能的时间平均值之间存在非常简单的关系，这个关系式称为位力定理。
因为动能式速度的二次函数，根据欧拉齐次函数定理有
$$ \sum_a \frac{\partial T}{\partial \mathbf v_a} \cdot \mathbf v_a = 2T $$
或者利用 $\partial T / \partial \mathbf v_a = \mathbf p_a $ 写成
$$ \begin{equation} \begin{aligned} 2T &= \sum_a \mathbf p_a \cdot \mathbf v_a \\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_a \mathbf p_a \cdot \mathbf r_a - \sum_a \dot{\mathbf{p}}_a \cdot \mathbf r_a \end{aligned} \end{equation}$$
我们将上式这个等式对时间平均。函数 $f(t)$ 对时间平均定义为
$$ \overline{f} = \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t} \mathrm{d}t $$
容易看出，如果函数 $f(t)$ 是某个有界函数 $F(t)$ 对时间的全导数，则 $f(t)$ 对时间的平均等于零。事实上，
$$ \begin{aligned} \overline{f} &= \lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t} \mathrm{d}t \\ &= \lim_{\tau\to\infty} \frac{F(\tau)-F(0)}{\tau} \\ &= 0 \end{aligned} $$
假设系统的在有限空间中以有限速度运动，则 $\sum_a \mathbf p_a \cdot \mathbf r_a$ 是有界的，等式 (25) 右端第一项对时间的平均值等于零。根据牛顿方程 (5)，将等式(25)右端的第二项中 $\dot{\mathbf p}_a$ 替换为 $-\partial U /\partial \mathbf r_a$，可得
$$ \begin{equation} 2 \overline{T} = \sum_a \overline{ \mathbf r_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf r_a} } \end{equation} $$
如果势能是所有径矢 $\mathbf r_a$ 的 $k$ 次齐次函数，则根据欧拉定理，等式(26)变为所要求的关系
$$ \begin{equation} 2 \overline{T} = k\ \overline{U} \end{equation} $$
由于 $\overline{T} + \overline{U} = \overline{E} = E$，可以将等式(27) 等价写成
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \overline{U} &= \frac{2}{k+2}E \\ \overline{T} &= \frac{k}{k+2}E \end{aligned} \end{equation} $$
这两个公式将 $\overline{T}$ 和 $\overline{U}$ 用系统的总能量表示出来。
对于 $k=2$ ，即微振动的特殊情况有
$$\overline{T} =\overline{U} $$
即动能和势能对时间平均相等。
对于牛顿引力（$k=-1$）有
$$2\overline{T} =- \overline{U} $$
这时 $E = - \overline{T}$ 表明，只有在总能量为负值的情况下，在牛顿引力的作用下，运动才是有界的。
习题1：质量不同势能相同的质点沿着相同的轨道运动，它们的运动时间满足什么关系？
答案：
$$ \frac{t’}{t} = \sqrt{ \frac{m’}{m} } $$
习题2：质点有相同的质量但势能相差一个常数因子，试求沿着相同轨道运动的时间之比？
答案：
$$ \frac{t’}{t} = \sqrt{ \frac{U’}{U} } $$
运动方程积分
11. 一维运动
一个自由度系统的运动称为一维运动。若系统处于定常外部条件下，拉格朗日函数的一般形式为
$$ L = \frac{1}{2} a(q) \dot{q}^2 -U(q) $$
其中 $a(q)$ 是广义坐标 $q$ 的函数。特别地，如果 $q$ 为笛卡尔坐标（我们就就取为 $x$ ），则
$$ L = \frac{m \dot{x}^2}{2} -U(x) $$
相应于这些拉格朗日函数的运动方程可以在一般形式下积分。这时甚至没必要给出运动方程本身，可以直接由运动方程的第一积分——能量守恒定律给出。于是，对于上式拉格朗日函数有
$$ \frac{m \dot{x}^2}{2} +U(x) =E $$
这时一阶微分方程，可以通过分离变量积分出来：
$$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t } = \sqrt{\frac{2}{m} [E-U(x)]} $$
进而得到
$$\begin{equation} t = \sqrt{\frac{m}{2} } \int \frac{\mathrm{d} x }{\sqrt{E-U(x)} } + \mathrm{const} \end{equation}$$
这里总能量 $E$ 和积分常数 $\mathrm{const} $ 表示运动方程解里的两个任意常数。
由于动能实际上是正值，运动中总能量总是大于势能，即运动只能发生在 $U(x) < E$ 的空间区域。
例如，假设函数 $U(x)$ 的形式如图3-1所示。在图中画出相应于给定总能量的水平直线，立即可以得到可能的运动区域，即图3-1中 AB 之间和 C 右侧的区域。
势能等于总能量的点确定了运动边界：
$$\begin{equation} U(x) = E \end{equation}$$
由于这些点速度为零，故称之为转折点。如果运动区域由两个转折点限定，则运动发生在空间的有限区域内，称为有界运动。如果运动区域不受限制或者只有单侧限制，则运动是无限的，质点可以运动到无穷远处，称为无界运动。
一维有界运动是振动，质点在两个两个有边界之间往复运动（在图3-1的点 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的势阱 AB 中）。根据时间的可逆性，从 $x_1$ 到 $x_2$ 的运动时间等于 $x_2$ 到 $x_1$ 的时间。所以，振动周期（从 $x_1$ 到 $x_2$ 并返回的时间）等于 $x_1$ 到 $x_2$ 运动时间的两倍，根据式(29)有
$$\begin{equation} T(E) = \sqrt{2m} \int_{x_1(E)}^{ x_2(E) } \frac{ \mathrm{d} x }{\sqrt{E-U(x)}} \end{equation}$$
积分上下限 $x_1$ 和 $x_2$ 是 $E$ 方程(30) 的根。这个公式给出振动周期对质点的总能量的依赖关系。
习题1：试求平面单摆（质量为 $m$，摆长为 $l$，重力场中运动）振动周期和振幅之间的函数关系
解：单摆的能量为
$$\begin{aligned} E &= \frac{m l^2 \dot{\varphi}^2 }{2} -mgl\ \mathrm{cos} \varphi \\ &= -mgl\ \mathrm{cos}\varphi_0 \end{aligned}$$
其中 $\varphi$ 为绳与竖直方向的夹角， $\varphi_0$ 为最大摆角。周期等于 $\varphi$ 从零到 $\varphi_0$ 运动时间的 4 倍：
$$ \begin{aligned} T &= 4 \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\varphi_0} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\sqrt{\mathrm{cos}\varphi - \mathrm{cos}\varphi_0} } \\ &= 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\varphi_0} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\sqrt{\mathrm{sin}^2 (\varphi_0/2) - \mathrm{sin}^2 (\varphi/2)} } \end{aligned} $$
令 $\mathrm{sin} (\varphi/2) / \mathrm{sin} (\varphi_0/2) = \mathrm{sin} \xi$ ，上面的积分可以写成
$$ T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K(\mathrm{sin} \frac{\varphi_0}{2}) $$
其中
$$ K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \xi}{\sqrt{1-k^2 \mathrm{sin}^2 \xi}} $$
称为
第一类椭圆积分。当 $\mathrm{sin} (\varphi_0/2) \approx \varphi_0/2 \ll 1 $（微振动）时，展开函数 $K(k)$ 可得$$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left( 1 + \frac{1}{16} \varphi_0^2 + \cdots \right)$$
这个展开式的第一项就是大家都知道的公式。
习题2：试求质量为 $m$ 的质点振动周期对质量的依赖的关系，其中质点所处质点所处力场的势能为：
a). $U=A |x|^n$
解：
$$ \begin{aligned} T &= 2\sqrt{2m} \int_0^{(E/A)^{1/n}} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{E-Ax^n}} \\ &= \frac{2\sqrt{2m} E^{1/n-1/2}}{A^{1/n}} \int_0^1 \frac{\mathrm{d} y}{ 1- y^n} \end{aligned} $$
令 $y^n = u$ ，这个积分化为用 $\Gamma$ 函数表示的B - 欧拉积分，
$$ T = \frac{2 \sqrt{2 \pi m} \Gamma(1/n)}{n A^{1/n} \Gamma(1/n+1/2)} E^{1/n-1/2} $$
$T$ 和 $E$ 的关系符合力学相似律。
b). $U=-U_0 / \mathrm{cosh}^2 ax, \quad -U_0 < E < 0$
解：
$$ T =\frac{\pi \sqrt{2m}}{\alpha \sqrt{|E|}} $$
c). $U=U_0 \mathrm{tan}^2 ax$
解：
$$ T =\frac{\pi \sqrt{2m}}{\alpha \sqrt{E+U_0}} $$
12. 根据振动周期确定势能
现在我们来研究这样的问题，当一个质点在场中振动时，通过振动周期 $T$ 与 能量 $E$ 的关系在多大程度上可以确定该场的势能 $U(x)$ 的形式。从数学的角度看，这时求解积分方程(31)，其中 $U(x)$ 是未知数，而 $T(E)$ 是已知函数。
我们先不考虑积分方程是否存在不符合下述条件的解的问题，假定所求函数 $U(x)$ 在所考虑的空间区域只有一个极小值。为了方便起见，我们假设势能极小值等于零，并将坐标原点选在势能极小值处（图3-2）
对积分(31)做变换，将坐标 $x$ 当作 $U$ 的函数，函数 $x(U)$ 是双值的，即每个 $U$ 对应两个不停的 $x$ 的值。用 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} U} \mathrm{d}U$ 代替 $\mathrm{d} x$，积分(31)变为两个积分之和：从 $x=x_1$ 到 $x=0$ 的积分，从 $x=0$ 到 $x=x_2$ 的积分。我们将这两个区域中的函数 $x(U)$ 分别写成 $x=x_1(U)$ 和 $x=x_2(U)$ 。
显然，对 $U$ 的上下限分别为 $E$ 和 $0$ ，于是有
$$ \begin{aligned} T(E) &= \sqrt{2m} \int_0^E \frac{\mathrm{d} x_2(U)}{ \mathrm{d} U} \frac{\mathrm{dU}}{\sqrt{E-U} } + \sqrt{2m} \int_E^0 \frac{\mathrm{d} x_1(U)}{ \mathrm{d} U} \frac{\mathrm{dU}}{\sqrt{E-U} } \\ &=\sqrt{2m} \int_0^E \left(\frac{\mathrm{d} x_2(U)}{ \mathrm{d} U} - \frac{\mathrm{d} x_1(U)}{ \mathrm{d} U} \right) \frac{\mathrm{dU}}{\sqrt{E-U} } \end{aligned} $$
将这个方程两边除以 $\sqrt{\alpha-E}$ ，其中 $\alpha$ 是参数，然后对 $E$ 从零到 $a$ 积分：
$$ \int_0^{\alpha} \frac{T(E) \mathrm{d} E}{ \sqrt{\alpha - E}} = \sqrt{2m} \int_0^{\alpha} \int_0^{E} \left( \frac{\mathrm{d} x_2(U)}{ \mathrm{d} U} - \frac{\mathrm{d} x_1(U)}{ \mathrm{d} U} \right) \frac{\mathrm{d} U \mathrm{d} E}{ \sqrt{(\alpha-E)(E-U)}} $$
或者改变积分顺序写成
$$ \int_0^{\alpha} \frac{T(E) \mathrm{d} E}{ \sqrt{\alpha - E}} = \sqrt{2m} \int_0^{\alpha} \left( \frac{\mathrm{d} x_2(U)}{ \mathrm{d} U} - \frac{\mathrm{d} x_1(U)}{ \mathrm{d} U} \right) \mathrm{d} U \int_U^{\alpha} \frac{\mathrm{d} E}{ \sqrt{(\alpha-E)(E-U)}} $$
对 $E$ 的积分是初等积分，其值等于 $\pi$ 。而对 $U$ 的积分是平凡的，则有
$$ \int_0^{\alpha} \frac{T(E) \mathrm{d} E}{ \sqrt{\alpha - E}} = \pi \sqrt{2m} \left[ x_2(\alpha) - x_1(\alpha) \right] $$
（计算中已考虑到 $x_2(0) = x_1(0) = 0$）。将 $\alpha$ 替换为 $U$ ，最终得
$$\begin{equation} x_2(U) - x_1(U) = \frac{1}{\pi \sqrt{2m}} \int_0^U \frac{T(E) \mathrm{d} E}{\sqrt{U-E}} \end{equation} $$
因此，由已知的函数 $T(E)$ 可以确定 $x_2(U) - x_1(U)$ ，但函数 $x_2(U)$ 和 $x_1(U)$ 本身仍然无法确定。这就是说，相应于给定的周期和能量的关系，存在不止一条而是无穷多条曲线 $U=U(x)$ ，但是曲线的不同不改变同一个 $U$ 对应的两个 $x$ 的差值。
如果要求曲线 $U=U(x)$ 关于 $U$ 轴对称，即
$$ x_2(U) = -x_1(U) \equiv x(U) $$
则不存在解的多值性问题，这时公式(32)给出 $U(x)$ 的单值表达式：
$$ \begin{equation} x(U) = \frac{1}{2\pi \sqrt{2m}} \int_0^U \frac{T(E) \mathrm{d} E}{\sqrt{U-E}} \end{equation} $$
13. 约化质量
由两个相互作用的质点组成的系统的运动，是非常重要的问题，称为二体问题，可以得到其运动的完全通解。
作为求解问题的第一步，通过把系统的运动分解为系统质心的运动和质点相对于质心的运动，则问题会大大简化。
相互作用的两个质点的势能仅仅依赖于它们之间的距离，即矢径差的大小。所以这样的系统的拉格朗日函数为
$$ \begin{equation} L = \frac{m_1 \dot{\mathbf r}_1^2}{2} + \frac{m_2 \dot{\mathbf r}_2^2}{2} - U( | \mathbf r_1 - \mathbf r_2 | ) \end{equation}$$
引入两个质点相对位失
$$ \mathbf r = \mathbf r_1 - \mathbf r_2 $$
并将坐标原点置于质心处，即
$$ m_1 \mathbf r_1 + m_2 \mathbf r_2 = 0 $$
从这两个等式可以求出
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf r_1 &= \frac{m_2}{m_1+m_2} \mathbf r \\ \mathbf r_2 &= \frac{m_1}{m_1+m_2} \mathbf r \end{aligned} \end{equation}$$
将这些表达式代入式子(34)可得
$$\begin{equation} L = \frac{m \dot{\mathbf r}^2 }{2} - U(r) \end{equation} $$
其中
$$ \begin{equation} m= \frac{m_1 m_2}{ m_1 + m_2} \end{equation} $$
称为约化质量。函数(36)形式上等同于在你外场 $U(r)$ 中运动的一个质点的拉格朗日函数，该质点的质量为 $m$ ，外场关于固定的坐标原点是对称的。
因此，二体问题等价于一个质量为 $m$ 的质点在给定外场 $U(r)$ 中运动。利用公式(35)，两质点 $m_1$ 和 $m_2$ 的相对于它们共同质心的轨迹 $\mathbf r_1 = \mathbf r_1(t)$ 和 $\mathbf r_2 = \mathbf r_2(t)$ 可以由 $\mathbf r = \mathbf r(t)$ 分别求出。
习题：质点系由一个质量为 $M$ 的质点和 $n$ 个质量同为 $m$ 的质点组成。试消去质心运动并将该质点系的运动化为 $n$ 体问题。
解：设 $\mathbf R$ 是质点 $M$ 的径矢，$\mathbf R_a (a=1,2,\cdots,n)$ 分别是质量为 $m$ 的各个质点的径矢，引入质点 $M$ 到 $m$ 的相对位矢
$$ \mathbf r_a = \mathbf R_a - \mathbf R $$
并将坐标原点置于质心处，即
$$ M \mathbf R +m \sum_a \mathbf R_a = 0 $$
从两个等式可以求出
$$ \begin{aligned} \mathbf R &= - \frac{m}{\mu} \sum_a \mathbf r_a \\ \mathbf R_a &= \mathbf R + \mathbf r_a \end{aligned} $$
其中 $\mu = M + nm$ 。将这些表达式代入拉格朗日函数
$$ L = \frac{M \dot{\mathbf R}^2 }{2} + \frac{m}{2} \sum_a \dot{\mathbf R}_a^2 - U $$
可得
$$ L = \frac{m}{2} \ge \mathbf v_a - \frac{m^2}{2\mu} \left( \sum_a \mathbf v_a \right)^2 - U $$
其中 $\mathbf v_a \equiv \dot{\mathbf r_a}$。
势能仅取决于质点之间的相对位失，可以写成是 $\mathbf r_a$ 的函数。
14. 有心力场内的运动
当将二体问题约化为一个单体运动问题时，我们仅需确定单个质点在某种外场中的运动，该外场中质点的势能只与质点到某一固定点的距离有关，这样的外场称为有心力场。作用在质点上的力
$$ \mathbf{F} = - \frac{\partial U(r)}{ \partial \mathbf r } = - \frac{\mathrm{d} U }{\mathrm{d} r } \frac{\mathbf r}{r}$$
的大小仅依赖于 $r$ ，方向总是沿着质点的径矢。
在第 9 节已经证明，在有心力场内的运动对场中心的角动量守恒，对于一个质点，这个角动量就是
$$ \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} $$
由于 $\mathbf{M}$ 和 $\mathbf{r}$ 相互垂直，$\mathbf{M}$ 不变就意味着在运动过程中质点的径矢总是位于一个平面内，该平面垂直于 $\mathbf{M}$ 。
因此质点在有心力场内运动的整个轨道都位于一个平面内。在该平面内引入极坐标 $r$ ，$\varphi$ ，写出拉格朗日函数
$$\begin{equation} L = \frac{m}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 ) - U(r) \end{equation} $$
这个函数不显含坐标 $\varphi$ 。拉格朗日函数不显含的广义坐标称为循环坐标。根据拉格朗日方程，对于循环坐标 $q_i$ 有
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i } = \frac{\partial L}{\partial q_i } = 0 $$
即相应的广义动量 $p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i$ 是运动积分。这将在存在循环坐标情况下大大简化积分运动方程的问题。
在现在的情况下，广义动量
$$ p_{\varphi} = m r^2 \dot{\varphi} $$
就是角动量 $M_z = M$ ，因此我们又回到了熟悉的角动量守恒定律
$$ \begin{equation} M = m r^2 \dot{\varphi} = \mathrm{const} \end{equation} $$
对于单一质点在有心力场内作平面运动的情况，角动量守恒有一个简单的几何解释。无限邻近的两个径矢和轨道和轨道微元围城的扇形面积（图3-3）等于 $(1/2) \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} \mathrm{d} \varphi$ ，将它表示为 $\mathrm{d} f$ 。质点的角动量可以写成
$$ \begin{equation} M = 2m \dot{f} \end{equation} $$
其中 $\dot{f}$ 称为掠面速度。所以角动量守恒意味着掠面速度为常数，即在想等时间间隔内质点径矢扫过相同的面积（开普勒第二定律）。
从能量和角动量守恒出发，无需写出运动方程，就可以很容易地完全解决质点在有心力场中的运动问题。利用式子(39)用 $M$ 表示 $\dot{\varphi}$ ，代入能量的表达式，我们得到
$$ \begin{equation} \begin{aligned} E &= \frac{m}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) + U(r) \\ &= \frac{m \dot{r}^2 }{2} + \frac{M^2 }{2 m r^2} + U(r) \end{aligned} \end{equation} $$
由此可得
$$\begin{equation} \dot{r} \equiv \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = \sqrt{ \frac{2}{m} \left[ E - U(r) \right] - \frac{M^2}{ m^2 r^2} } \end{equation} $$
分离变量并积分
$$\begin{equation} t = \int \frac{ \mathrm{d} r } {\sqrt{ \frac{2}{m} \left[ E - U(r) \right] - \frac{M^2}{ m^2 r^2} } } + \mathrm{const} \end{equation} $$
将式子(39)写成
$$ \mathrm{d} \varphi = \frac{M}{m r^2} \mathrm{d} t $$
从式子(42)求出 $\mathrm{d} t$ 代入上式并积分得
$$\begin{equation} \varphi = \int \frac{ (M/r^2) \mathrm{d} r } {\sqrt{2m \left[ E - U(r) \right] - M^2 / r^2 } } + \mathrm{const} \end{equation} $$
公式(43)和(44)给出了问题的通解，公式(44)给出了 $r$ 和 $\varphi$ 的关系，即轨道方程，而公式(43)给出了质点到力心距离 $r$ 随时间变化的隐函数。应该注意到，由公式(39)可知 $\dot{\varphi}$ 的符号总不会改变，因此 $\varphi$ 总是随着时间单调变化。
公式(41)表明，径向运动可以看作是在某个场中的一维运动，该场中的“有效”势能为
$$\begin{equation} U_{eff} = U(r) + \frac{M^2}{2 m r^2} \end{equation} $$
其中 $M^2/(2 m r^2)$ 称为离心势。从
$$\begin{equation} U(r) + \frac{M^2}{2 m r^2} = E \end{equation} $$
中求出的 $r$ 给出了运动区域边界到力心的距离。等式(46)成立时径向速度 $ \dot{r}$ 等于零。但这不能说明质点像在真正的一维运动中那样静止的，这时因为角速度 $\dot{\varphi}$ 不为零。等式 $\dot{r} = 0$ 表示轨道的“转折点”，函数 $r(t)$ 在这个点从增加变为减小或者相反。
如果 $r$ 的变化区域只受 $r \ge r_{min}$ 的限制，则运动时无界的，即质点从无穷远处来又回到无穷远处去。
如果 $r$ 的变化有两个边界 $r_{min}$ 和 $r_{max}$，则运动是有界的，轨道完全位于 $r = r_{min}$ 和 $r = r_{min}$ 确定的环形区域内。然而，这并不表明轨道必定是封闭曲线。根据公式(44)，在 $r$ 从 $r_{max}$ 变到 $r_{min}$ 再回到 $r_{max}$ 这一时间间隔内径矢转过的角度 $\Delta \varphi$ 等于
$$\begin{equation} \Delta \varphi = 2 \int_{r_{min}}^{r_{max}} \frac{ (M/r^2) \mathrm{d} r } {\sqrt{2m \left[ E - U(r) \right] - M^2 / r^2 } } \end{equation} $$
轨道封闭的条件是这个转角等于 $2\pi$ 的有理数倍，即 $\Delta \varphi = 2 \pi m/n$ ，其中 $m$，$n$ 是整数。在这种情况下，经过 $n$ 个运动周期，质点径矢转过 $m$ 圈后，回到初始位置，即轨道封闭。
然而这时很特殊的情况，对于任意形式 $U(r)$ ，角 $\Delta \varphi$ 不等于 $2\pi$ 的有理数倍。因此一般情况下作有界运动的质点的轨道不是封闭的。轨道无穷多次达到最大和最小距离，最终覆盖两个两个有界圆环之间的整个环形区域（图3-4所示的轨道是一个例子）。
只有两种类型的有心力场，其中的一切有界运动的轨道是封闭的，这两种场的势能与 $\frac{1}{r}$ 或者 $r^2$ 成正比。第一种将在第15节讨论，第二种相应于空间阵子（参考第23节的习题3）。
公式(42)（以及公式(43)和(44)的被积函数）中平方根在转折点改变符号。如果角 $\varphi$ 从指向转折点的径矢方向算起，则轨道在该转折点两侧的每个部分，对同一个 $r$ 值，其区别仅在于 $\varphi$ 的符号不同。就是说，轨道相对 $\varphi = 0 $是对称的。比如质点从某个 $r= r_{max}$点开始，经历一段轨道到达 $r_{min}$ 点，然后经历一段对称的轨道到达下一个 $r_{max}$ 点，依次类推，即整个轨道可以通过来回重复相同的轨道段得到。对于由两个从转折点 $r = r_{min}$ 到无穷远延伸对称分支组成的无界轨道也是如此。
当 $r \rightarrow 0$时，离心势能（对 $M \neq 0$ 的运动）像 $\frac{1}{r^2}$ 一样趋向无穷大，因此质点通常不可能通过场的中心，即使场本身具有吸引特性也是如此。只有当 $r \rightarrow 0$ 能够快速地趋向 $- \infty$ ，质点才有可能“坠落”到场中心。有不等式
$$ \frac{m \dot{r}^2}{2} = E - U(r) - \frac{M^2}{2 m r^2} \gt 0 $$
或者
$$ r^2 U(r) + \frac{M^2}{2 m} \lt E r^2 $$
可知， $r$ 可能趋于零的条件是
$$\begin{equation} \left. r^2 U(r) \right |_{r \to 0} \lt - \frac{M^2}{2m} \end{equation} $$
即 $U(r)$ 应该或者像 $-\frac{a}{r^2} \left( a>\frac{M}{2a} \right)$ ，或者正比于 $-\frac{1}{r^n} (n>2)$ 这样的方式趋向于 $- \infty$。
习题1：试求解球面摆的运动方程。球面摆是指质量为 $m$ 的质点沿着半径为 $l$ 的球面在中力场中的运动。
解：设球坐标系原点位于球心，极轴竖直向下，则质点的拉格朗日函数为
$$ L = \frac{m l^2}{2} \left( \dot{\theta}^2 + \dot{\varphi}^2 \mathrm{sin}^2 \theta \right) + m g l \mathrm{cos} \theta $$
其中 $\varphi$ 是循环坐标，所以广义动量 $p_{\varphi}$ ，也就是角动量的 $z$ 分量守恒：
$$ m l^2 \dot{\varphi} \mathrm{sin}^2 \theta = M_z = \mathrm{const} $$
能量
$$ \begin{aligned} E &= \frac{m l^2}{2} \left( \dot{\theta}^2 + \dot{\varphi}^2 \mathrm{sin}^2 \theta \right) - m g l \mathrm{cos} \theta \\ &= \frac{m l^2 \dot{\theta}^2 }{2} + \frac{M_z}{2 m l^2 \mathrm{sin}^2 \theta } - m g l \mathrm{cos} \theta \end{aligned}$$
由此求出 $\dot{\theta}$ 并且分离变量，得
$$ t = \int \frac{\mathrm{d} \theta}{ \sqrt{ \frac{2}{m l^2} \left[ E - U_{eff}(\theta) \right] } } $$
其中有效势能为
$$ U_{eff}(\theta) = \frac{M_z}{2 m l^2 \mathrm{sin}^2 \theta } - m g l \mathrm{cos} \theta $$
对于角 $\varphi$ ，利用角动量的 $z$ 分量守恒的式子求出
$$ \varphi = \frac{M_z}{l \sqrt{2m}} \int \frac{\mathrm{d} \theta }{ \mathrm{sin}^2 \theta \sqrt{E - U_{eff}(\theta)} } $$
运动时角 $\theta$ 的变化范围由条件 $E-U_{eff}$ 确定，而其边界由方程 $E = U_{eff}$ 确定，这是 $\mathrm{cos} \theta$ 的三次方程，在 $-1$ 和 $+1$ 之间有两个根，它们对应着球面上两个纬线圈，整条轨道都位于这两个圈之间。
习题2：在重力场中质点沿着圆锥表面运动，圆锥顶角为 $2\alpha$ ，竖直放置，顶角向下。试求解该质点的运动方程。
解：设球坐标系原点位于圆锥顶点，极轴竖直向下，则拉格朗日函数为
$$ L =\frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 \mathrm{sin}^2 \alpha \right) - m g r \mathrm{cos} \alpha $$
显然 $\varphi$ 是循环坐标，所以广义动量
$$ M_z = m r^2 \dot{\varphi} \mathrm{sin}^2 \alpha $$
守恒，能量为
$$ E = \frac{m \dot{r}^2}{2 } + \frac{M_z^2}{2 m r^2 \mathrm{sin}^2 \alpha } + m g r \mathrm{cos} \alpha $$
利用与习题 1 同样的方法求出
$$ \begin{aligned} t &= \int \frac{\mathrm{d} r}{ \sqrt{ \frac{2}{m} \left[ E - U_{eff}(r) \right] } } \\ \varphi &= \frac{M_z}{\sqrt{2m} \mathrm{sin}^2 \alpha } \int \frac{ \mathrm{d} r}{ r^2 \sqrt{E-U_{eff}(r)} } \end{aligned} $$
其中
$$ U_{eff}(r) = \frac{M_z^2}{2 m r^2 \mathrm{sin}^2 \alpha } + m g r \mathrm{cos} \alpha $$
条件 $E = U_{eff} (r) $ （当 $M_z \neq 0 $ 时）是 $r$ 的三次方程，有两个正根，它们确定锥面上的两个水平圆，整条轨道都处于这两个圆之间。
习题3：试求解质量为 $m_2$ 的平面摆的运动方程，摆的悬挂点质量为 $m_1$ ，可以沿着 $m_2$ 运动的平面内的水平线运动（见图1-2）。
解：在第五节的习题2中已经求出了拉格朗日函数。
\begin{aligned} L &= \frac{m_1 + m_2}{2} \dot{x}^2 + \frac{m_2}{2} \left( l^2 \dot{\varphi}^2 + 2 l \dot{x} \dot{\varphi}\ \mathrm{cos}\varphi \right) \\ & \quad + m_2 g l\ \mathrm{cos}\varphi \end{aligned}
其中 $x$ 是循环坐标，所以广义动量 $P_x$ 守恒，即系统总动量的水平分量守恒：
$$ P_z = (m_1 + m_2 ) \dot{x} + m_2 l \dot{\varphi} \mathrm{cos} \varphi = \mathrm{const} $$
总可以认为系统是静止，即 $\mathrm{const} = 0$ 对上面方程积分可得
$$ (m_1 + m_2 ) x + m_2 l \mathrm{sin} \varphi = \mathrm{const} $$
这表示系统的质心在水平方向上静止，而能量可以写成
$$ E = \frac{m_2 l^2 \dot{\varphi}^2 }{2} \left( 1- \frac{m_2}{m_1 +m_2} \mathrm{cos}^2 \varphi \right) - m_2 g l \mathrm{cos} \varphi $$
由此可得
$$ t = l \sqrt{ \frac{m_2}{2(m_1 +m_2)}} \int \sqrt{\frac{m_1 + m_2 \mathrm{sin}^2 \varphi }{ E +m_2 g l \mathrm{cos} \varphi }} \mathrm{d} \varphi $$
利用第三个式子，用 $\varphi$ 表示 $m_2$ 的坐标， $x_2 = x + l \ \mathrm{sin}\varphi$，$y_2 = l \ \mathrm{cos} \varphi$ ，由此可以求出这个质点的轨道。这是水平半轴为 $l m_1 / (m_1 +m_2 ) $ 竖直半轴为 $l$.的椭圆的一部分。当 $m_1 \to \infty$ 时，就变为我们熟悉的沿着一段圆弧运动的单摆。
15. 开普勒问题
势能与 $r$ 成正比，因而力与 $r^2$ 成正比的有心力场是非常重要的一类有心力场。牛顿万有引力场和库仑静电相互作用力场都属于这种情况，后者可能是吸引的也可能是排斥的力场。
我们首先研究引力场，设
$$\begin{equation} U = - \frac{\alpha}{r} \end{equation} $$
其中 $\alpha$ 是正数。“有效”势能
$$\begin{equation} U_{eff} = - \frac{\alpha}{r} + \frac{M^2}{2 m r^2} \end{equation} $$
曲线如图3-5所示，当 $r \to 0 $ 时，$U_{eff}$ 趋于 $+ \infty$ ，当 $r \to \infty$ 时 $U_{eff}$ 从负方向趋于零，当 $r = \frac{M^2}{m \alpha}$ 时取极小值
$$\begin{equation} (U_{eff})_{min} = - \frac{m \alpha^2}{2 M^2} \end{equation} $$
由曲线显而易见，当 $E>0$ 时质点运动时无界的， $E < 0$ 时运动是有界的。
根据一般公式 (44) 可得到轨道形状。代入 $U= - \alpha /r $ 并积分可得
$$ \varphi = \mathrm{arccos} \frac{M/r - m \alpha /M }{ \sqrt{2 m E + m^2 \alpha^2 / M^2} } + \mathrm{const} $$
选择 $\varphi$ 的起始位置使得 $const = 0$ ，并引入记号
$$\begin{equation} \begin{aligned} p &= \frac{ M^2 }{m \alpha} \\ e &= \sqrt{1+ \frac{2 E M^2}{m \alpha^2}} \end{aligned} \end{equation} $$
轨道方程可以重新写成
$$\begin{equation} p/r = 1+ e \mathrm{cos} \varphi \end{equation} $$
这是焦点位于坐标原点的圆锥曲线方程， $2p$ 和 $e$ 分别称为轨道的 正焦弦 和 偏心率。由(53)可以看出，选择 $\varphi$ 的起始位置，就是使 $\varphi = 0$ 的点距离中心最近（称该点为轨道近心点）。
按照(49)的相互作用的两个质点的等价问题，每个质点的轨道都是圆锥曲线，其焦点之一位于两质点系统的质心处。
由(52)可知，当 $E<0$ 时 $e < 1$，即轨道是椭圆（图3-6），运动时有界的，和本节前面所说的结果是一致的。根据解析几何公式，椭圆的半长轴和半短轴为
$$\begin{equation} \begin{aligned} a &= \frac{p}{1-e^2} = \frac{\alpha}{2 |E|} \\ b &= \frac{p}{\sqrt{1-e^2}}=\frac{M}{\sqrt{2m|E|}} \end{aligned} \end{equation} $$
能量的最小可能值对应于(51)，这时 $e = 0$ ，即椭圆变成圆。需要指出，椭圆轨道的半长轴仅仅依赖于质点的能量（而与角动量无关），到场中心（椭圆焦点）的最小和最长距离等于
$$\begin{equation} \begin{aligned} r_{min} &= \frac{p}{1+e} = a(1-e) \\ r_{max} &= \frac{p}{1-e} = a(1+e) \end{aligned} \end{equation} $$
当然这两个表达式（ $a$ 由(54)确定， $e$ 由(52)确定）也可以直接从方程 $U_{eff} = E$ 求根得到。
运用以面积积分形式(40)表示的角动量守恒定律，可以方便地求出质点沿椭圆轨道运动的周期 $T$ 。对时间从零到 $T$ 的积分这个等式，可得
$$ 2m f = T M $$
其中 $f$ 是轨道面积。对于椭圆 $f= \pi a b$ 。根据(54)得
$$ \begin{equation} T = 2 \pi a^{3/2} \sqrt{\frac{m}{\alpha}} = \pi \alpha \sqrt{\frac{m}{2 |E|^3 }} \end{equation} $$
在第10节中已经指出，周期平方正比于轨道线度（半长轴）得立方。还需指出，周期仅仅依赖于质点的能量。
当 $E \ge 0$ 时，运动是无界的。如果 $E > 0$ 则偏心率 $e>1$ ，即轨道是原点为内焦点的双曲线，如图3-7所示，近心点到中心的距离
$$ \begin{equation} r_{min} = \frac{p}{1+e} = a(e-1) \end{equation} $$
其中
$$ a= \frac{p}{e^2-1} = \frac{\alpha}{2 E} $$
是双曲线的“半轴”。
在 $E = 0$ 情况下偏心率 $e = 1$ ，即质点沿着近心点距离为 $r_{min} = p/2$ 的抛物线运动。如果质点自无穷远处从静止开始运动，就会出现这种情况。
质点沿着轨道运动时，坐标对时间的依赖关系可以利用(43)得到。它可以表示为下面所述的一种方便的参数形式。
首先研究椭圆轨道。根据(52)和(54)引入的 $a$ 和 $e$ ，确定时间的积分(43)可以写成
$$ \begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{m}{2|E|}} \int \frac{\mathrm{d} r }{ \sqrt{- r^2 + \frac{\alpha}{|E|} r - \frac{M^2}{2 m |E|}} } \\ &= \sqrt{\frac{ma}{\alpha} } \int \frac{ \mathrm{d} r }{ \sqrt{a^2 e^2 -(r-a)^2 } } \end{aligned} $$
利用变换
$$ r - a = -a e\ \mathrm{cos} \xi$$
这个积分可以写成
$$ \begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{ma^3}{\alpha} } \int (1- e\ \mathrm{cos} \xi) \mathrm{d} \xi \\ &= \sqrt{\frac{ma^3}{\alpha} } (\xi- e \ \mathrm{sin} \xi) + \mathrm{const} \end{aligned} $$
选择时间起点使得 $\mathrm{const = 0}$ ，最终可得 $r$ 依赖于 $t$ 的参数方程：
$$\begin{equation} \begin{aligned} r &= a(1 - e\ \mathrm{cos} \xi) \\ t &= \sqrt{\frac{ma^3}{\alpha} } (\xi- e \ \mathrm{sin} \xi) \end{aligned} \end{equation} $$
（在 $t= 0$ 时刻质点为与近心点）。用参数 $\xi$ 还可以表示出质点的笛卡尔坐标 $x = r\ \mathrm{cos} \varphi$ ，$ y = r \ \mathrm{sin} \varphi$ （ $ x$ 轴和 $y$ 轴 分别沿着椭圆的半长轴和半短轴）。由(53)和(58)有
$$\begin{aligned} ex &= p -r \\ &= a(1-e^2) - a(1 - e\ \mathrm{cos} \xi) \\ &= ae(\mathrm{cos} \xi - e) \end{aligned}$$
再利用 $y = \sqrt{r^2 - x^2 } $ 求出 $y$ 。最终可得：
$$\begin{equation} \begin{aligned} x &= a(\mathrm{cos} \xi - e ) \\ y &= a \sqrt{1 - e^2} \mathrm{sin}\xi \end{aligned} \end{equation} $$
沿着椭圆轨道运动一整圈对应着参数 $\xi$ 从零到 $2\pi$ 。
对于双曲线轨道，完全类似计算可得
$$\begin{equation} \begin{aligned} r &= a( e\ \mathrm{cosh} \xi - 1) \\ t &= \sqrt{\frac{ma^3}{\alpha} } (e \ \mathrm{sinh} \xi - \xi) \\ x &= a(e - \mathrm{cosh} \xi ) \\ y &= a \sqrt{e^2-1} \mathrm{sinh}\xi \end{aligned} \end{equation} $$
其中参数 $\xi$ 的取值范围从 $- \infty$ 到 $+ \infty$。
下面研究排斥场中的运动，势能为
$$\begin{equation} U = \frac{\alpha}{r} \end{equation} $$
（ $\alpha > 0 $）。这种情况下，“有效”势能为
$$ U_{eff} = \frac{\alpha}{r} + \frac{ M^2 }{2 m r^2}$$
当 $r$ 从零到 $\infty$ 变化时，它从 $+ \infty$ 单调减小到零。质点能量只能是正的，运动总是无限的，完全像上面对吸引场一样计算可知，轨道是双曲线
$$\begin{equation} \frac{p}{r} = -1 + e \ \mathrm{cos} \varphi \end{equation} $$
（ $p$ 和 $e$ 由公式(52)确定），轨道以图3-8所示的方式通过场的中心附近。近心点距离为
$$\begin{equation} r_{min} = \frac{p}{e-1} = a(e+1) \end{equation} $$
运动与时间的关系由参数方程给出：
$$\begin{equation} \begin{aligned} r &= a( e\ \mathrm{cosh} \xi + 1) \\ t &= \sqrt{\frac{ma^3}{\alpha} } (e \ \mathrm{sinh} \xi + \xi) \\ x &= a(e + \mathrm{cosh} \xi ) \\ y &= a \sqrt{e^2-1} \mathrm{sinh}\xi \end{aligned} \end{equation} $$
在本节的最后我们来证明，仅在有心力场 $U = \alpha / r $ （ $\alpha$ 的符号任意）内的运动有其特有的运动积分。很容易直接验证：
$$\begin{equation} \mathbf{v} \times \mathbf{M} + \frac{\alpha \mathbf{r}}{ r} = \mathrm{const} \end{equation}$$
事实上，上式对时间的全导数等于
$$ \dot{\mathbf{v}} \times \mathbf{M} + \frac{\alpha \mathbf{v}}{ r} - \frac{ \alpha \mathbf{r} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{r} ) }{r^3} $$
将 $\mathbf{M} = m \mathbf{r} \times \mathbf{v}$ 代入后得
$$ m \mathbf{r} ( \mathbf{v} \cdot \dot{\mathbf v}) - m \mathbf{v} ( \mathbf{r} \cdot \dot{\mathbf v}) + \frac{\alpha \mathbf{v}}{r} - \frac{ \alpha \mathbf{r} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{r} ) }{r^3} $$
再根据运动方程 $m \dot{\mathbf v} = \alpha \mathbf{r} / r^3$ 可知上面的表达式等于零。
守恒量(65)的方向沿着长轴从焦点指向近心点，其大小等于 $\alpha e$ 。这很容易通过计算该矢量的在近心点的值进行验证。
需要着重指出，运动积分(65)像 $\mathbf{M}$ 和 $E$ 一样，是质点状态（位置和速度）的单值函数。在第52节我们将会看到，存在这个附加的单值函数积分是因为运动的简并。
习题1：质点在场 $U = -\alpha / r$ 内沿着抛物线运动，能量 $E = 0$ ，试求知质点的坐标对时间的依赖关系。
解：对积分
$$ t = \int \frac{r \mathrm{d} r }{ \sqrt{ \frac{2 \alpha }{m} r - \frac{M^2}{ m^2 } } } $$
做变换
$$ r = \frac{ M^2}{2 m \alpha} (1 + \eta^2) = \frac{p}{2} (1 + \eta^2) $$
可得如下参数方程：
$$ \begin{aligned} r &= \frac{p}{2} (1+ \eta^2) \\ t &= \sqrt{ \frac{ m p^3 }{ \alpha } } \frac{\eta}{2} (1 + \frac{ \eta^2 }{2}) \\ x &= \frac{p}{2} ( 1- \eta^2) \\ y &= p \eta \end{aligned} $$
参数 $\eta$ 的取值范围是 $- \infty$ 到 $+ \infty$ 。
习题2：质点在有心力场 $U = - \frac{\alpha}{r^2}$ （$\alpha > 0$）内运动，试求积分运动方程。
解：按照公式 (54)和(55)，对 $\varphi$ 和 $t$ 的计算起点做适当的选择可得
(a). 当 $E > 0$，$\frac{M^2}{2 m} > \alpha$ 时，
$$ \frac{1}{r} = \sqrt{ \frac{ 2 m E}{ M^2 - 2 M \alpha} } \mathrm{cos} \left( \varphi \sqrt{1 - \frac{ 2m \alpha }{M^2}} \right) $$
(b). 当 $E > 0$，$\frac{M^2}{2 m} < \alpha$ 时，
$$ \frac{1}{r} = \sqrt{ \frac{ 2 m E}{ 2 M \alpha - M^2} } \mathrm{sinh} \left( \varphi \sqrt{ \frac{ 2m \alpha }{M^2} -1} \right) $$
(c). 当 $E < 0$，$\frac{M^2}{2 m} < \alpha$ 时，
$$ \frac{1}{r} = \sqrt{ \frac{ 2 m |E| }{ 2 M \alpha - M^2} } \mathrm{cosh} \left( \varphi \sqrt{ \frac{ 2m \alpha }{M^2} -1} \right) $$
在上面三种情况下都有
$$ t = \frac{1}{E} \sqrt{ \frac{m}{2} } \sqrt{E r^2 - \frac{M^2}{2m} + \alpha} $$
在情况 (b) 和 (c) ，当 $\varphi \to \infty $ 时，质点沿着趋向坐标原点的轨道“坠落”至中心。从给定的距离 $r$ 开始的坠落时间等于
$$ \frac{1}{E} \sqrt{ \frac{m}{2}} \left( \sqrt{\alpha - \frac{ M^2 }{2 m} + E r^2} - \sqrt{\alpha - \frac{ M^2 }{2 m} } \right) $$
习题3：在势能 $U = - \alpha / r$ 上增加一个小修正 $\delta U$ ，有限运动的轨道不再封闭，并且每运动一圈轨道的近心点都有很小的角度改变量 $\delta \varphi$ 。在下面情况下求 $\delta \varphi$ ：(a) $\delta U = \beta /r^2$ ，(b) $\delta U= \gamma / r^3 $ 。
解：当 $r$ 从 $r_{min}$ 变到 $r_{max}$ 再重新回到 $r_{min}$ 时，角变化量 $\delta \varphi$ 由公式(58)给出，为了避免虚假发散，将公式(58)改写成
$$ \Delta \varphi = - 2 \frac{ \partial }{ \partial M } \int_{r_{min}}^{r_{max}} \sqrt{ 2 m ( E - U) - \frac{M^2}{r^2}} \mathrm{d} r $$
代入 $U = -\alpha /r + \delta U$ 并且将被积式按 $\delta U$ 的幂次展开，其中，零阶项为 $2 \pi$ ，一阶项就是所求的 $\delta \varphi$
$$ \begin{aligned} \delta \varphi &= \frac{ \partial }{ \partial M } \int_{r_{min}}^{r_{max}} \frac{ 2 m \delta U \mathrm{d} r }{ \sqrt{2m \left( E + \frac{a}{r} \right) -\frac{ M^2 }{r^2} } } \\ &= \frac{ \partial }{ \partial M } \left( \frac{2m}{M} \int_0^{\pi} r^2 \delta U \mathrm{d} \varphi \right) \end{aligned} $$
其中对 $r$ 的积分变为沿着“无扰动”运动轨道对 $ \varphi $ 的积分。
对于情况 (a) ，上式积分是平凡的，得
$$ \delta \varphi = - \frac{2 \pi \beta m}{M^2} = - \frac{2 \pi \beta}{ \alpha p } $$
其中 $2 p $ 是式(52)中无扰椭圆的正焦距。
在情况 (b) 中 $r^2 \delta U = \gamma / r$ ，由式子(53)给出的 $1/r$ 代入上面式子后得
$$ \delta \varphi = - \frac{ 6 \pi \alpha \gamma m^2 }{M^4} = - \frac{ 6 \pi \gamma }{\alpha p^2} $$
欢迎指出任何有错误或不够清晰的表达。
